Праграма па варыяцыйнага вылічэння

1. МЭТЫ І Задачы курса
2. ЗМЕСТ ВУЧЭБНАГА курса
3. ТЭМЫ ПРАКТЫЧНЫХ ЗАНЯТКАЎ
4. канечнамернае аптымізацыі
5. СПІС ЛІТАРАТУРЫ

Напрамак - 511.300 (механіка, прыкладная матэматыка)
Спецыяльнасць - 010500
семестры 6,7

справаздачнасці:
залік - 6, 7 семестры

Распрацоўшчыкі праграмы:
Пацко Валерый Сямёнавіч , Кандыдат фіз.-мат. навук, с.н.с.
Іваноў Аляксей Генадзьевіч , Н.С.

МЭТЫ І Задачы курса

"Варыяцыйнага вылічэння і метады аптымізацыі" з'яўляецца агульнаадукацыйных курсам ў фундаментальнай падрыхтоўцы механікаў, якія выпускаюцца універсітэтам. Многія практычныя задачы, прадстаўленыя ў матэматычнай форме, складаюцца ў знаходжанні оптымуму (мінімуму ці максімуму) некаторай функцыі (функцыяналу) з улікам абмежаванняў, накладзеных на якія дапускаюцца значэння зменных. Такія задачы прынята называць аптымізацыйных.

Варыяцыйнага вылічэння (аптымізацыя інтэгральных функцыяналаў) вывучаецца на працягу аднаго семестра. Асноўная ўвага надаецца класічным тэарэмы і метадам даследавання. Неабходныя ўмовы аптымальнасці выкладаюцца на аснове метаду Лагранжа - увядзенне лікавага параметру, дыферэнцыявання па гэтым параметры. Дэманструецца ўніверсальнасць гэтага метаду для самых розных задач. Дастатковыя ўмовы аптымальнасці грунтуюцца на канструкцыях тэорыі поля.

На практычных занятках галоўная ўвага надаецца задачам з добрым механічным зместам. Разглядаюцца класічныя мадэльныя задачы: задача аб брахистохроне, задача аб найменшай паверхні кручэння, аэрадынамічная задача Ньютана. У кожнай з іх знаходзіцца глабальнае аптымальнае рашэнне, аналізуецца яго залежнасць ад параметраў задачы. На прыкладзе гэтых задач студэнты знаёмяцца з лікавымі метадамі. Пры гэтым выкарыстоўваецца спецыяльна распрацаванае праграмнае забеспячэнне, якое дазваляе ў рамках кожнай задачы разгледзець розныя тыпы рашэнняў і спосабы іх атрымання.

Традыцыйна ў УрГУ для механікаў чытаецца спецкурс "Тэорыя аптымальнага кіравання". Таму ў курсе варыяцыйнага вылічэння толькі абмяркоўваецца сувязь класічнага варыяцыйнага вылічэння і сучаснай тэорыі аптымальнага кіравання.

Метады канечнамернае аптымізацыі таксама вывучаюцца на працягу аднаго семестра. Два заняткі адводзіцца на рашэнне задач. Асноўная тэма - метад множнікаў Лагранжа, яго розныя інтэрпрэтацыі. У вучэбны матэрыял ўключаны элементы выпуклага аналізу. Пры выкладзе тэорыі дваістасці студэнты знаёмяцца з тэарэма, якія злучаюць Максімін і минимакс.

Усе асноўныя зацвярджэння курсу даюцца з поўнымі доказамі. Вывучэнне дадзенай дысцыпліны дасць магчымасць набыць навыкі ў пабудове матэматычных мадэляў розных практычных задач, у выбары матэматычных метадаў для іх вырашэння з выкарыстаннем вылічальных машын, дапамагае глыбей зразумець шэраг іншых спецыяльных курсаў. Гэтая дысцыпліна развівае матэматычную інтуіцыю, выхоўвае матэматычную культуру, неабходную для правільнага выкарыстання матэматыкі.

ЗМЕСТ ВУЧЭБНАГА курса

Гісторыя развіцця задач на мінімум і максімум, класічнае варыяцыйнага вылічэння. Найпростая варыяцыйная задача. Раўнанне Эйлера. Неабходныя ўмовы аптымальнасці для выпадку вектарнай функцыі і ў задачы са старэйшымі вытворнымі. Ўмова трансверсальности. Варыяцыйнай задачы ў параметрычнай форме. Неабходныя ўмовы аптымальнасці ў варыяцыйнай задачы з функцыяналам, задаваць падвойным інтэгралам. Варыяцыйнага вылічэння і задачы механікі. Прынцып Гамільтана. Задачы варыяцыйнага вылічэння з абмежаваннямі. Изопериметрические задачы. Варыяцыйнага вылічэння і сучасныя задачы аптымальнага кіравання. Элементы тэорыі поля. Дастатковыя ўмовы аптымальнасці (умовы Веерштрас, Лежандра, Якобі). Раўнанне Гамільтана-Якобі. Лікавыя метады рашэння задач варыяцыйнага вылічэння. Класічныя мадэльныя задачы варыяцыйнага вылічэння.

Гладкія задачы матэматычнага праграмавання. Гісторыя развіцця задач матэматычнага праграмавання. Правіла множнікаў Лагранжа. Неабходныя ўмовы лакальнага оптымуму для задач з абмежаваннямі ў выглядзе роўнасцяў і ў выглядзе няроўнасцей. Элементы выпуклага аналізу. Тэарэма аб аддзельная выпуклых мностваў. Задачы выпуклага праграмавання. Максімін і минимакс. Матрычныя гульні. Дваістасць ў матэматычным праграмаванні. Задачы лінейнага праграмавання і праблемы эканомікі. Сімплекс-метад. Лікавыя метады рашэння задач без абмежаванняў: метад Ньютана, градыентныя метады, метады прамога пошуку.

ТЭМЫ ПРАКТЫЧНЫХ ЗАНЯТКАЎ

варыяцыйнага вылічэння

1. Неабходныя ўмовы аптымальнасці першага парадку ў найпростай задачы варыяцыйнага вылічэння. Інтэграванне ўраўненні Эйлера.

2. Класічная задача аб брахистохроне. Задача аб брахистохроне ў цэнтральным полі прыцягнення .

3. Задача аб найменшай паверхні кручэння . Глабальны і лакальныя мінімумы, выраджаных рашэння.

4. Неабходныя ўмовы ў задачы са старэйшымі вытворнымі. Задача кіравання з аптымізацыяй выдатку "энергіі".

5. варыяцыйная задачы з рухомымі межамі. Ўмовы трансверсальности.

6. Аэрадынамічная задача Ньютана . Аптымальныя рашэнні ў розных класах дапушчальных функцый. Ролю ўмовы трансверсальности ў задачы Ньютана.

7. Прамыя метады рашэння задач варыяцыйнага вылічэння. Выкарыстанне алгарытмаў канечнамернае аптымізацыі.

8. Дэманстрацыя на кампутары лікавых метадаў у дачыненні да аэрадынамічнай задачы, задачы аб найменшай паверхні кручэння, задачы аб брахистохроне.

9. Неабходныя ўмовы ў варыяцыйнай задачы з функцыяналам, задаваць падвойным інтэгралам. Задача Плато.

10. Задачы варыяцыйнага вылічэння з абмежаваннямі.

11. Неабходныя ўмовы ў изопериметрической задачы.

12. Поле экстрэмалаў. Умовы Веерштрас, Лежандра, Якобі. Дастатковыя ўмовы аптымальнасці. Праверка дастатковых умоў ў задачы аб найменшай паверхні кручэння і ў задачы аб брахистохроне.

канечнамернае аптымізацыі

1. Задачы на ​​ўмоўны экстрэмуму з абмежаваннямі ў выглядзе роўнасцяў і няроўнасцей.

2. Выпуклыя мноства. Выпуклыя функцыі. Апорная функцыя. Субдифференциал.

СПІС ЛІТАРАТУРЫ

1. Аляксееў В.М., Галі Э.М., Ціхаміраў В.М. Зборнік задач па аптымізацыі. М .: Навука 1984.

2. Аляксееў В.М., Ціхаміраў В.М., Фамін С.В. Аптымальнае кіраванне. М .: Навука 1979.

3. Альбрэхт Э.Г., Каюмов А.Г., Саламаціна А.М., Шелементьев Г.С. Метады аптымізацыі: ўвядзенне ў тэорыю рашэння экстрэмальных задач. Екацерынбург: УрГУ 1993.

4. Ахіезэр Н.І. Лекцыі па варыяцыйнага вылічэння. М .: Гостехиздат, 1955.

5. Бандзі Б. Метады аптымізацыі. Ўводны курс. М .: Радыё і сувязь, 1988.

6. Бересекас Д. Умоўная аптымізацыя і метады множнікаў Лагранжа. М .: Радыё і сувязь, 1987.

7. Васільеў Ф.П. Лікавыя метады рашэння экстрэмальных задач. М .: Навука, 1980.

8. Габасов Р., Кірылава Ф. М. Метады аптымізацыі. 1981.

9. Гельфанд І.М., Фамін С.В. Варыяцыйнага вылічэння. М .: Навука, 1961 г..

10. Яромін І.І., Астаф'еў М.М. Ўвядзенне ў тэорыю лінейнага і выпуклага праграмавання. М .: Навука, 1976.

11. Карманаў В.Г. Матэматычнае праграмаванне. М .: Навука 1986.

12. Красноў М.Л., Макаранка Г.П., Кісялёў А.І. Варыяцыйнага вылічэння: Задачы і практыкаванні. М .: Навука, 1973.

13. Курант Р. Курс дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння, том. II. М .: Навука, 1970 г..

14. Лаўрэнцьеў М.А., Люстерник Л.А., Курс варыяцыйнага вылічэння. М .: гонтай, 1938 г..

15. Метады аптымізацыі: Зборнік задач. Свярдлоўск; УрГУ, 1988.

16. Рокафеллар Т. Выпуклы аналіз. М .: "Мір", 1973.

17. Сухараў А.Г., Цімохаў А.В., Фёдараў В.У. Курс метадаў аптымізацыі. М .: Навука 1986.

18. Тэорыя аптымальных аэрадынамічных формаў : Сб. артыкулаў пад рэд. А.Миеле, зав. з англ. М .: "Мір", 1969

19. Вучэбная праграма, тэмы кантрольных работ і пытанні да Калоквіум па курсе "Метады аптымізацыі" (метадычныя ўказанні). Свярдлоўск: І. ць Уральскага дзяржуніверсітэта 1986.

20. Эльсгольц Л.В. Дыферэнцыяльныя ўраўненні і варыяцыйнага вылічэння. М .: Навука, 1969.

21. Эльстер К.-Х., Рейнгардта Р., Шойбле М., Донат Г. Увядзенне ў нелінейнае праграмаванне. М .: Навука, 1985.