Metody optymalizacji i planowania.

1. Rozdział 10 Metody optymalizacji i planowania.
2. 10.1 Klasyczne stwierdzenie problemu optymalizacji
3. 10.2 Klasyfikacja zadań optymalizacyjnych
4. 10.3 Optymalizacja wielokryterialna

Rozdział 10 Metody optymalizacji i planowania.

Metody optymalizacji są szeroko stosowane do rozwiązywania problemów teorii optymalnych procesów, optymalnej regulacji i rozwoju zaburzeń wiejskich na obiektach. Bez opracowania i zastosowania metod optymalizacji niemożliwe jest zarządzanie kolumnami destylacyjnymi w przemyśle alkoholowym, krakersami olejowymi, konwerterami w produkcji stali itp. W celu transportu problemów i zadań sprzedawcy wiele zadań związanych z cybernetyką ekonomiczną (planowanie sieci, zarządzanie zapasami, transport itp.), Zarządzanie organizacją produkcji (przydzielanie zadań, przetwarzanie części, produkcja przenośników) i optymalne zadania programistyczne są ograniczone. Odrębna grupa problemów w teorii optymalizacji - są to zadania optymalnego projektowania. Na przykład zadania projektowania radiowych urządzeń elektronicznych z określonymi ograniczeniami dotyczącymi hałasu i szerokości pasma lub wskaźników niezawodności w warunkach starzenia.

10.1 Klasyczne stwierdzenie problemu optymalizacji

Zwykłe określenie problemu optymalizacji brzmi: w pewnej przestrzeni w ten czy inny sposób odróżnia pewien niepusty zestaw punkty tej przestrzeni, nazywane poprawnym zestawem. Następnie poprawiono poprawną funkcję , który jest podawany we wszystkich punktach dopuszczalny zestaw. Jest to funkcja docelowa. Zadaniem optymalizacji jest znalezienie punktu w liczbie mnogiej dla której funkcji Przyjmuje ekstremalną (maksymalną lub minimalną) wartość. W pierwszym przypadku dla wszystkich punktów liczba mnoga zadowolona nierówność , w drugim przypadku - nierówność .

W zadaniach praktycznych możliwe są dwa podstawowe zestawienia zadań optymalizacyjnych. W pierwszym przypadku problem rozważany jest w zwykłej (euklidesowej) przestrzeni o skończonym wymiarze. Punkty dopuszczalny zestaw będzie krotkami liczby rzeczywiste, ta sama funkcja docelowa będzie zwykłą ważną funkcją z poprawne argumenty ( ® - wymiar przestrzeni). Takie zadanie nazwiemy w przyszłości zadaniem optymalizacji funkcji. W drugim przypadku instrukcja problemu optymalizacyjnego służy jako zestaw zestawów dla pewnego zestawu funkcje zmiennych rzeczywistych , a funkcją docelową jest pewna funkcjonalność , który pasuje do każdej funkcji trochę prawdziwej liczby . To zadanie nazywamy funkcją optymalizacji lub zadaniem wariacyjnym.

10.2 Klasyfikacja zadań optymalizacyjnych

Przede wszystkim konieczne jest oddzielenie zadań optymalizacji parametrycznej i strukturalnej.

Optymalizacja parametryczna jest tematem rozważanym w tej sekcji, który przedstawia problem i metody jego rozwiązania. Optymalizacja strukturalna jest zadaniem syntezy optymalnej struktury systemu, a zmiana struktur i przekształcenie jednej struktury w drugą odbywa się za pomocą specjalnego algorytmu syntezy. Optymalizacja parametryczna łączy wiele różnych zadań, które mają swoje cechy szczególne i metody rozwiązania.

Klasyfikację tych zadań przedstawiono na rysunku 5.1.

W tym celu musimy dodać komentarz:

1. Jeśli istnieje kilka funkcji docelowych, istnieje problem optymalizacji wektora.

2. Jeśli liczba parametrów , kierując się więcej niż jednym, rozwiązano problem optymalizacji wieloparametrowej.

3. Jeśli istnieją ograniczenia i warunki wiążące parametry , następnie pojawia się problem optymalizacji z warunkami, które w cybernetyki nazwano programowaniem matematycznym.

4. Programowanie matematyczne łączy problemy programowania nieliniowego (funkcja celu w przypadku ogólnym jest nieliniowa), programowanie stochastyczne (parametry - zmienna losowa, a funkcja docelowa jest funkcją losową), programowanie dynamiczne (optymalizacja wieloetapowych procesów w celu znalezienia rozwiązania).

5. Jeśli parametry zarządzane przyjmują tylko wartości dyskretne, występuje problem optymalizacji dyskretnej i jeśli tak, to czy - liczby całkowite, a następnie - zadanie programowania całkowitoliczbowego.

6. W przypadku, gdy funkcja docelowa jest wypukła, obszar, w którym dane jest , także wypukły, wtedy pojawia się problem programowania wypukłego. Jeśli funkcja docelowa i warunki programowania liniowo-liniowego (odcinkowo-liniowego); funkcja celu jest kwadratowa, a warunki programowania liniowo-kwadratowego; funkcja i warunki docelowe - kombinacje liniowe funkcji jednej zmiennej - programowanie rozdzielne; funkcja docelowa i warunki przedstawione są w postaci wielomianów - programowanie geometryczne.

10.3 Optymalizacja wielokryterialna

W praktyce często zdarza się, gdy zamiast jednej funkcji celu Określono kilka funkcji docelowych . Takie zadanie optymalizacji wielokryterialnej ma kilka stwierdzeń. Jeden z nich musi zoptymalizować jedno z kryteriów, załóżmy , a pozostałe kryteria są utrzymywane w określonych granicach: . W tym przypadku chodzi o zwykłą optymalizację wielokryterialną. Jeśli chodzi o nierówności, które ograniczają inne kryteria, można je uznać za dodatkowe ograniczenia w dozwolonym obszarze .

Rysunek 5.1 - Klasyfikacja zadań optymalizacyjnych

W drugim przypadku oświadczenie ma uporządkować dany zestaw kryteriów i spójną optymalizację dla każdego z nich. W przeciwnym razie, jeśli optymalizujesz według pierwszego kryterium , a następnie otrzymują pewien zestaw , na której funkcji akceptuje optymalną (ekstremalną) wartość. Przyjęcie go dla nowego dopuszczalnego zestawu, przeprowadzić optymalizację według drugiego kryterium i otrzymać w rezultacie nowy dopuszczalny zestaw . Jeśli będziesz kontynuować ten proces, możesz uzyskać optymalizację według ostatniego kryterium liczba mnoga , który będzie końcowym wynikiem optymalizacji wielokryterialnej. Stąd, jeśli w pewnym momencie liczba mnoga zostanie zredukowany do jednego punktu, proces optymalizacji może zostać zakończony, ponieważ . Oczywiste jest, że podobnie jak w przypadku zwykłej optymalizacji z jednym kryterium, problem może w ogóle nie mieć rozwiązania.

Trzecie stwierdzenie wykorzystuje proces sumowania wielu kryteriów do jednego poprzez wprowadzenie a priori współczynników ważenia dla każdego z kryteriów . Jako dowolne współczynniki można wybrać dowolne ważne liczby. Ich wartości są wybierane na podstawie intuicyjnego przedstawienia stopnia ważności różnych kryteriów: ważniejsze kryteria uzyskują skale z większymi wartościami bezwzględnymi. Po zważeniu Problem wielokryterialny jest zredukowany do jednego kryterium z funkcją celu

Zamiast prostej liniowej kombinacji kryteriów wejściowych można zastosować bardziej zaawansowane środki tworzenia nowego kryterium.