Program rachunku różniczkowego

1. CELE I ZADANIA KURSU
2. TREŚĆ KURSU EDUKACYJNEGO
3. TEMATY PRAKTYCZNYCH ZAJĘĆ
4. KOŃCOWA OPTYMALIZACJA WYMIAROWA
5. LISTA LITERATURY

Kierunek - 511300 (mechanika, matematyka stosowana)
Specjalność - 010500
Semestry 6.7

Raportowanie:
test - 6, 7 semestrów

Twórcy programu:
Patsko Walerij Semenowicz Kandydat Phys.-Mat. Sc., Senior Scientist
Ivanov Alexey Gennadevich N.S.

CELE I ZADANIA KURSU

„Rachunek wariacji i metod optymalizacji” to ogólny kurs edukacyjny w zakresie podstawowego szkolenia mechaników realizowanego przez uniwersytet. Wiele praktycznych problemów przedstawionych w formie matematycznej polega na znalezieniu optimum (minimum lub maksimum) określonej funkcji (funkcjonalnej) z zastrzeżeniem ograniczeń nałożonych na dopuszczalne wartości zmiennych. Takie zadania nazywane są optymalizacją.

Rachunek wariacji (optymalizacja integralnych funkcjonałów) jest badany przez jeden semestr. Skupiono się na klasycznych twierdzeniach i metodach badawczych. Niezbędne warunki dla optymalności podano na podstawie metody Lagrange'a - wprowadzenie parametru numerycznego, różnicowanie według tego parametru. Uniwersalność tej metody została zademonstrowana dla różnych zadań. Wystarczające warunki dla optymalności opierają się na konstrukcjach teorii pola.

W zajęciach praktycznych skupia się na zadaniach o dobrej zawartości mechanicznej. Rozważane są klasyczne problemy modelowe: problem brachistochronowy, problem najmniejszej powierzchni rewolucji, problem aerodynamiczny Newtona. W każdym z nich istnieje globalne rozwiązanie optymalne, analizuje się jego zależność od parametrów problemu. Na przykładzie tych zadań studenci zapoznają się z metodami numerycznymi. Jednocześnie wykorzystywane jest specjalnie opracowane oprogramowanie, które pozwala na rozważenie różnych rodzajów rozwiązań i sposobów ich uzyskania w ramach każdego zadania.

Tradycyjnie na Ural State University dla mechaników przeczytaj specjalny kurs „Teoria optymalnej kontroli”. Dlatego w trakcie rachunku wariacyjnego omawiane jest tylko połączenie między klasycznym rachunkiem wariacyjnym a współczesną teorią sterowania optymalnego.

Metody optymalizacji skończonej są również badane przez jeden semestr. Dwie klasy poświęcone są rozwiązywaniu problemów. Głównym tematem jest metoda mnożników Lagrange'a, jej różne interpretacje. Materiał szkoleniowy zawiera elementy analizy wypukłej. Prezentując teorię dualności, uczniowie zapoznają się z twierdzeniami łączącymi maximin i minimax.

Wszystkie podstawowe dowody kursu są podawane z pełnymi dowodami. Studiowanie tej dyscypliny pozwoli ci zdobyć umiejętności budowania modeli matematycznych różnych problemów praktycznych, w wyborze metod matematycznych do rozwiązywania ich za pomocą komputerów, a także pomoże ci zrozumieć wiele innych specjalnych kursów. Ta dyscyplina rozwija intuicję matematyczną, sprzyja kulturze matematycznej niezbędnej do prawidłowego korzystania z matematyki.

TREŚĆ KURSU EDUKACYJNEGO

Historia rozwoju zadań na minimum i maksimum, klasyczny rachunek wariacji. Najprostszy problem wariacyjny. Równanie Eulera. Niezbędne warunki optymalności dla przypadku funkcji wektorowej i problemu z wyższymi pochodnymi. Warunek transwersalności Problemy wariacyjne w postaci parametrycznej. Niezbędne warunki optymalności w problemie wariacyjnym z funkcjonalnością zdefiniowaną przez podwójną całkę. Rachunek wariacji i problemy mechaniki. Zasada Hamiltona. Zadania rachunku wariacyjnego z ograniczeniami. Problemy izoperymetryczne. Rachunek wariacji i współczesne problemy optymalnej kontroli. Elementy teorii pola. Wystarczające warunki do optymalizacji (warunki Weierstrass, Legendre, Jacobi). Równanie Hamiltona-Jacobiego. Numeryczne metody rozwiązywania problemów rachunku różniczkowego. Klasyczne problemy modelowe rachunku wariacyjnego.

Sprawne programowanie matematyczne. Historia rozwoju zadań programowania matematycznego. Reguła mnożników Lagrange'a. Niezbędne warunki dla lokalnego optimum dla problemów z ograniczeniami w postaci równości i w postaci nierówności. Elementy analizy wypukłej. Twierdzenie o separowalności zbiorów wypukłych. Programowanie wypukłe. Maximin i minimax. Gry Matrix. Dualizm w programowaniu matematycznym. Problemy programowania liniowego i problemów ekonomicznych. Metoda simpleksowa. Numeryczne metody rozwiązywania problemów bez ograniczeń: metoda Newtona, metody gradientowe, metody bezpośredniego wyszukiwania.

TEMATY PRAKTYCZNYCH ZAJĘĆ

OBLICZANIE ZMIAN

1. Niezbędne warunki optymalności pierwszego rzędu w najprostszym problemie rachunku wariacyjnego. Całkowanie równania Eulera.

2. Klasyczny problem brachistochronowy. Problem brachistochronowy w polu centralnym .

3 Problem najmniejszej powierzchni rewolucji . Globalne i lokalne minima, rozwiązania zdegenerowane.

4. Niezbędne warunki w przypadku wyższych pochodnych. Zadanie zarządzania z optymalizacją zużycia „energii”.

5. Problemy wariacyjne z ruchomymi granicami. Warunki transwersalności

6 Problem aerodynamiczny Newtona . Optymalne rozwiązania w różnych klasach dopuszczalnych funkcji. Rola warunku transwersalności w problemie Newtona.

7. Bezpośrednie metody rozwiązywania problemów rachunku wariacyjnego. Zastosowanie algorytmów optymalizacji skończonych wymiarów.

8 Demonstracja na komputerze metody numeryczne stosowane do problemu aerodynamicznego, problem najmniejszej powierzchni rewolucji, problem brachystochronu.

9. Warunki konieczne w problemie wariacyjnym z funkcjonalnością zdefiniowaną przez podwójną całkę. Zadanie płaskowyżu.

10. Zadania rachunku wariacyjnego z ograniczeniami.

11. Niezbędne warunki w problemie izoperymetrycznym.

12. Pole ekstremów. Warunki Weierstrass, Legendre, Jacobi. Wystarczające warunki do optymalizacji. Weryfikacja warunków wystarczających w problemie najmniejszej powierzchni rewolucji iw problemie brachistochrony.

KOŃCOWA OPTYMALIZACJA WYMIAROWA

1. Zadania ekstremum warunkowego z ograniczeniami w postaci równości i nierówności.

2. Zestawy wypukłe. Funkcje wypukłe. Funkcja wsparcia Subdifferenial.

LISTA LITERATURY

1. Alekseev V.M., Galeev E.M., Tikhomirov V.M. Zbiór problemów optymalizacyjnych. M: Science, 1984.

2. Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optymalna kontrola. M: Science, 1979.

3. Albrecht E.G., Kayumov R.I., Solomatin A.M., Shelementyev G.S. Metody optymalizacji: wprowadzenie do teorii rozwiązywania ekstremalnych problemów. Jekaterynburg: Ural State University, 1993.

4. Akhiezer N.I. Wykłady z rachunku wariacyjnego. M.: Gostekhizdat, 1955.

5. Bundy B. Techniki optymalizacji. Kurs wprowadzający. M: Radio i komunikacja, 1988.

6. Beresekas D. Optymalizacja warunkowa i metody mnożnika Lagrange'a. M: Radio i komunikacja, 1987.

7. Vasiliev F.P. Numeryczne metody rozwiązywania ekstremalnych problemów. M: Science, 1980.

8. Gabasov R., Kirillova F.M. Metody optymalizacji. 1981

9. Gelfand I.M., Fomin S.V. Rachunek odmian. M: Science, 1961.

10. Eremin I.I., Astafev N.N. Wprowadzenie do teorii programowania liniowego i wypukłego. M: Science, 1976.

11. Karmanov V.G. Programowanie matematyczne. M: Science, 1986.

12. Krasnov M.L., Makarenko G.P., Kiselev A.I. Rachunek odmian: zadania i ćwiczenia. M: Science, 1973.

13. Courant R. Przedmiot rachunku różniczkowego i całkowego, obj. Ii. M: Science, 1970.

14. Lavrentiev, MA, Lyusternik, LA, Variational Calculus Course. M .: GONTI, 1938.

15. Metody optymalizacji: zbieranie zadań. Swierdłowsku; USU, 1988.

16. Analiza Rokafellar T. Wypukła. M: Mir, 1973.

17. Sukharev A.G., Timokhov A.V., Fedorov V.V. Metody optymalizacji kursu. M: Science, 1986.

18 Teoria optymalnych form aerodynamicznych : Sob. artykuły ed. A. Miele, trans. z angielskiego M.: „World”, 1969

19. Program nauczania, tematy testów i kolokwia na kurs „Metody optymalizacji” (instrukcje metodyczne). Swierdłowsk: Wydawnictwo Ural State University, 1986.

20. Elsgolts L.V. Równania różniczkowe i rachunek wariacyjny. M: Science, 1969.

21. Elster K.-H., Reinhardt R., Schäuble M., Donat G. Wprowadzenie do programowania nieliniowego. M: Science, 1985.