Програма з варіаційного числення

1. Мета та завдання КУРСУ
2. ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОГО КУРСУ
3. ТЕМИ практичних занять
4. конечномерного ОПТИМІЗАЦІЯ
5. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Напрямок - 511300 (механіка, прикладна математика)
Спеціальність - 010500
семестри 6,7

звітності:
залік - 6, 7 семестри

Розробники програми:
Пацко Валерій Семенович , Кандидат фіз.-мат. наук, с.н.с.
Іванов Олексій Геннадійович , Н.с.

Мета та завдання КУРСУ

"Варіаційне числення та методи оптимізації" є загальноосвітнім курсом у фундаментальній підготовці механіків, що випускаються університетом. Багато практичні завдання, представлені в математичній формі, складаються в знаходженні оптимуму (мінімуму або максимуму) деякої функції (функціоналу) з урахуванням обмежень, накладених на допустимі значення змінних. Такі завдання прийнято називати оптимізаційними.

Варіаційне числення (оптимізація інтегральних функціоналів) вивчається протягом одного семестру. Основна увага приділяється класичним теорем і методів дослідження. Необхідні умови оптимальності викладаються на основі методу Лагранжа - введення числового параметра, диференціювання за цим параметром. Демонструється універсальність цього методу для самих різних завдань. Достатні умови оптимальності базуються на конструкціях теорії поля.

На практичних заняттях головна увага приділяється завданням з хорошим механічним змістом. Розглядаються класичні модельні задачі: задача про Брахістохрона, завдання про найменшу поверхні обертання, аеродинамічна завдання Ньютона. У кожній з них знаходиться глобальне оптимальне рішення, аналізується його залежність від параметрів задачі. На прикладі цих завдань студенти знайомляться з чисельними методами. При цьому використовується спеціально розроблене програмне забезпечення, що дозволяє в рамках кожного завдання розглянути різні типи рішень і способи їх отримання.

Традиційно в УрГУ для механіків читається спецкурс "Теорія оптимального управління". Тому в курсі варіаційного обчислення лише обговорюється зв'язок класичного варіаційного обчислення і сучасної теорії оптимального управління.

Методи конечномерной оптимізації також вивчаються протягом одного семестру. Два заняття відводиться на вирішення завдань. Основна тема - метод множників Лагранжа, його різні інтерпретації. У навчальний матеріал включені елементи опуклого аналізу. При викладі теорії подвійності студенти знайомляться з теоремами, що зв'язують максимин і минимакс.

Всі основні твердження курсу даються з повними доказами. Вивчення даної дисципліни дозволить набути навичок в побудові математичних моделей різних практичних завдань, у виборі математичних методів для їх вирішення з використанням обчислювальних машин, допомагає глибше зрозуміти ряд інших спеціальних курсів. Ця дисципліна розвиває математичну інтуїцію, виховує математичну культуру, необхідну для правильного використання математики.

ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОГО КУРСУ

Історія розвитку завдань на мінімум і максимум, класичне варіаційне числення. Найпростіша варіаційна задача. Рівняння Ейлера. Необхідні умови оптимальності для випадку векторної функції і в завданні зі старшими похідними. Умова трансверсальності. Варіаційні задачі в параметричної формі. Необхідні умови оптимальності в варіаційної задачі з функціоналом, що задається подвійним інтегралом. Варіаційне числення та завдання механіки. Принцип Гамільтона. Завдання варіаційного обчислення з обмеженнями. Ізопериметричні завдання. Варіаційне числення та сучасні завдання оптимального управління. Елементи теорії поля. Достатні умови оптимальності (умови Вейерштрасса, Лежандра, Якобі). Рівняння Гамільтона-Якобі. Чисельні методи розв'язання задач варіаційного числення. Класичні модельні задачі варіаційного числення.

Гладкі завдання математичного програмування. Історія розвитку завдань математичного програмування. Правило множників Лагранжа. Необхідні умови локального оптимуму для задач з обмеженнями у вигляді рівностей і у вигляді нерівностей. Елементи опуклого аналізу. Теорема про отделимости опуклих множин. Завдання опуклого програмування. Максимін і минимакс. Матричні гри. Двоїстість в математичному програмуванні. Завдання лінійного програмування і проблеми економіки. Симплекс-метод. Чисельні методи розв'язання задач без обмежень: метод Ньютона, градієнтні методи, методи прямого пошуку.

ТЕМИ практичних занять

варіаційне числення

1. Необхідні умови оптимальності першого порядку в найпростішої задачі варіаційного числення. Інтегрування рівняння Ейлера.

2. Класична задача про Брахістохрона. Завдання про Брахістохрона в центральному полі тяжіння .

3. Завдання про найменшу поверхні обертання . Глобальний та локальні мінімуми, вироджені рішення.

4. Необхідні умови в задачі зі старшими похідними. Завдання управління з оптимізацією витрат "енергії".

5. Варіаційні задачі з рухомими межами. Умови трансверсальності.

6. Аеродинамічна завдання Ньютона . Оптимальні рішення в різних класах допустимих функцій. Роль умови трансверсальності в завданні Ньютона.

7. Прямі методи розв'язання задач варіаційного числення. Використання алгоритмів конечномерной оптимізації.

8. Демонстрація на комп'ютері чисельних методів стосовно аеродинамічній задачі, задачі про найменшу поверхні обертання, задачі про Брахістохрона.

9. Необхідні умови в варіаційної задачі з функціоналом, що задається подвійним інтегралом. Завдання Плато.

10. Завдання варіаційного обчислення з обмеженнями.

11. Необхідні умови в изопериметрической задачі.

12. Поле екстремалів. Умови Вейерштрасса, Лежандра, Якобі. Достатні умови оптимальності. Перевірка достатніх умов в задачі про найменшу поверхні обертання і в задачі про Брахістохрона.

конечномерного ОПТИМІЗАЦІЯ

1. Завдання на умовний екстремум з обмеженнями у вигляді рівностей і нерівностей.

2. Опуклі множини. Опуклі функції. Опорна функція. Субдиференціал.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Алексєєв В.М., Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Збірник завдань по оптимізації. М .: Наука, 1984.

2. Алексєєв В.М., Тихомиров В.М., Фомін С.В. Оптимальне керування. М .: Наука, 1979.

3. Альбрехт Є.Г., Каюмов Р.І., Соломатін А.М., Шелементьев Г.С. Методи оптимізації: введення в теорію рішення екстремальних задач. Єкатеринбург: УрГУ, 1993.

4. Ахиезер Н.І. Лекції з варіаційного числення. М .: Гостехиздат, 1955.

5. Банди Б. Методи оптимізації. Вступний курс. М .: Радио и связь, 1988.

6. Бересекас Д. Умовна оптимізація і методи множників Лагранжа. М .: Радио и связь, 1987.

7. Васильєв Ф.П. Чисельні методи розв'язання екстремальних задач. М .: Наука, 1980.

8. Габасит Р., Кирилова Ф.М. Методи оптимізації. 1981.

9. Гельфанд І.М., Фомін С.В. Варіаційне числення. М .: Наука, 1961.

10. Єрьомін І.І., Астаф'єв М.М. Введення в теорію лінійного і опуклого програмування. М .: Наука, 1976.

11. Карманов В.Г. Математичне програмування. М .: Наука, 1986.

12. Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Кисельов А.І. Варіаційне числення: Завдання і вправи. М .: Наука, 1973.

13. Курант Р. Курс диференціального й інтегрального числення, тому. II. М .: Наука, 1970.

14. Лаврентьєв М.А., Люстерник Л.А., Курс варіаційного обчислення. М .: Гонти, 1938.

15. Методи оптимізації: Збірник завдань. Свердловськ; УрГУ, 1988.

16. Рокафеллар Т. Опуклий аналіз. М .: "Світ", 1973.

17. Сухарєв А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методів оптимізації. М .: Наука, 1986.

18. Теорія оптимальних аеродинамічних форм : Зб. статей під ред. А.Міеле, пров. з англ. М .: "Світ", 1969

19. Навчальна програма, теми контрольних робіт та питання до колоквіуму з курсу "Методи оптимізації" (Методичні вказівки). Свердловськ: Вид-во Уральського держуніверситету, 1986.

20. Ельсгольція Л.В. Диференціальні рівняння і варіаційне числення. М .: Наука, 1969.

21. Ельстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Введення в нелінійне програмування. М .: Наука, 1985.